コラム　順序数の三分律

\( n \subset m \)でないので、\( n \setminus m \neq \emptyset \)である。\( n \)に対する強整列性の条件(5)から、ある\( m' \in n \setminus m \)が存在して任意の\( m'' \in n \setminus m \)に対して\( m' = m' ' \)または\( m' \in m' ' \)である。ここで、\( m' \in n \setminus m \)より\( m' \in n \)である。

\( m' \subset m \)であることを背理法で示す。\( m' \subset m \)でないと仮定する。この時、ある\( m' ' \in m' \)が存在して\( m' ' \notin m \)である。\( n \)に対する強整列性の条件(1)と\( m' ' \in m' \in n \)から、\( m' ' \in n \)である。従って、\( m' ' \in n \setminus m \)である。\( m' \)の取り方から、\( m' = m' ' \)または\( m' \in m' ' \)である。\( m' = m' ' \)ならば、\( m' = m' ' \in m' \)であり、これは順序数の正則性に反し、矛盾する。\( m' \in m' ' \)ならば、\( m' \in m' ' \)かつ\( m' ' \in m' \)となるので、順序数の正則性に反し、矛盾する。以上より、\( m' \subset m \)である。

まず\( m \in n \)とする。\( n \)に対する強整列性の条件(1)から\( m \subset n \)である。\( m \neq n \)であることを背理法で示す。\( m = n \)と仮定する。\( n = m \in n \)であるので、順序数の正則性に反し、矛盾する。従って\( m \neq n \)である。

次に\( m \subsetneq n \)とする。順序数の差の性質から、ある\( m' \in n \setminus m \)が存在し、\( m' \subset m \)である。\( m \subset m' \)であることを示す。\( m' ' \in m \)とする。\( m \subset n \)から、\( m' ' \in n \)である。\( m' = m' ' \)と仮定すると\( m' = m' ' \in m \)となるが、これは\( m' \in n \setminus m \)に反し、矛盾する。従って\( m' \neq m' ' \)である。\( m' \in m' ' \)と仮定すると、\( m \)に対する強整列性の条件(1)と\( m' \in m' ' \in m \)から\( m' \in m \)となるが、これは\( m' \in n \setminus m \)に反し、矛盾する。従って\( m' \notin m' ' \)である。\( n \)に対する強整列性の条件(4)と\( m' \neq m' ' \)かつ\( m' \notin m' ' \)から、\( m' ' \in m' \)である。以上より\( m \subset m' \)である。従って\( m = m' \in n \)である。

\( n' \in n \)より\( n' \)は集合である。\( n \)に対する強整列性の条件(1)より、\( n' \subset n \)である。\( n \)に対する強整列性の条件(2)～(5)から、\( n' \)に対する強整列性の条件(2)～(5)が成り立つ。従って、\( n' \)に対する強整列性の条件(1)を示せばよい。\( m \in n' \)かつ\( m' \in m \)とする。\( m' \in m \in n' \in n \)より、\( n \)に対する強整列性の条件(1)から、\( m \in n \)かつ\( m' \in n \)である。\( n \)に対する強整列性の条件(2)と\( m' \in m \in n' \)から、\( m' \in n' \)である。以上より、\( n' \)は順序数である。

(1) \( \bigcap_{n \in N} n \)を\( n' \)と置く。\( N \)が\( \emptyset \)でないことから、\( n' \)は集合をなす。\( n \in N \)を１つ取ると、\( n' \subset n \)と\( n \)に対する強整列性の条件(2)～(5)から、\( n' \)は強整列性の条件(2)～(5)を満たす。従って、\( n' \)に対する強整列性の条件(1)を示せば良い。

\( m \in n' \)かつ任意の\( m' \in m \)とする。\( n' \)の定義より、任意の\( n \in N \subset \textrm{Ord} \)に対し\( m \in n \)であり、\( n \)に対する強整列性の条件(1)と\( m' \in m \)から、\( m' \in n \)である。すなわち\( m' \in n' \)である。以上より、\( n' \)は順序数である。

(2) \( \bigcup_{n \in N} n \)を\( n' \)と置く。\( N \)が集合をなすことから、\( n' \)は集合をなす。

\( n' \)に対する強整列性の条件(1)
任意の\( m \in n' \)と任意の\( m' \in m \)に対し\( m' \in n' \)が成り立つことを示す。\( n' \)の定義より、ある\( n \in N \subset \textrm{Ord} \)が存在して\( m \in n \)である。\( n \)に対する強整列性の条件(1)と\( m' \in m \in n \)より、\( m' \in n \subset n' \)である。

\( n' \)に対する強整列性の条件(2)
任意の\( m \in n' \)と任意の\( m' \in n' \)と任意の\( m' ' \in n' \)に対し\( m \in m' \)かつ\( m' \in m'' \)ならば\( m \in m' ' \)が成り立つことを示す。\( n' \)の定義から、ある\( n \in N \)が存在して\( m' ' \in n \)である。\( n \)に対する強整列性の条件(2)と\( m \in m' \in m' ' \in n \)から、\( m \in m' ' \)である。

\( n' \)に対する強整列性の条件(3)
任意の\( m \in n' \)と任意の\( m' \in n' \)に対し\( m \notin m' \)または\( m' \notin m \)が成り立つことを示す。排中律により、\( m \in m' \)または\( m \notin m' \)である。\( m \notin m' \)の時は\( m \notin m' \)または\( m' \notin m \)が成り立つ。\( m \in m' \)とする。\( n' \)の定義から、ある\( n \in N \)が存在して\( m' \in n \)である。\( n \)に対する強整列性の条件(1)と\( m \in m' \in n \)から、\( m \in n \)である。\( n \)に対する強整列性の条件(3)から、\( m \notin m' \)または\( m' \notin m \)が成り立つ。

\( n' \)に対する強整列性の条件(4)
任意の\( m \in n' \)と任意の\( m' \in n' \)に対し\( m \neq m' \)ならば\( m \in m' \)または\( m' \in m \)が成り立つことを示す。\( n' \)の定義から、ある\( n \in N \)が存在して\( m \in n \)である。排中律により、\( m \in m' \)または\( m \notin m' \)である。\( m \in m' \)の時は\( m \in m' \)または\( m' \in m \)が成り立つ。

\( m \notin m' \)とする。\( \textrm{Ord} \)における\( \in \)と\( \subsetneq \)の同値性と\( m \neq m' \)かつ\( m \notin m' \)から、\( m \subset m' \)でない。すなわち\( m \setminus m' \neq \emptyset \)である。順序数の差の性質から、ある\( m' ' \in m \setminus m' \)が存在し、\( m' ' \subset m' \)である。\( m' ' \in m \setminus m' \)より、\( m' ' \notin m' \)である。\( \textrm{Ord} \)における\( \in \)と\( \subsetneq \)の同値性と\( m' ' \notin m' \)から、\( m' ' \subsetneq m' \)でない。従って、\( m' ' = m' \)である。以上より、\( m' = m' ' \in m \)である。特に、\( m \in m' \)または\( m' \in m \)が成り立つ。

\( n' \)に対する強整列性の条件(5)
任意の部分集合\( N' \subset n' \)に対し、\( N' \neq \emptyset \)ならばある\( m \in N' \)が存在して、任意の\( m' \in N' \)に対し\( m = m' \)または\( m \in m' \)が成り立つことを示す。\( N' \neq \emptyset \)と\( n' \)の定義から、ある\( n \in N \)が存在して\( N' \cap n \neq \emptyset \)である。\( n \)に対する強整列性の条件(5)から、ある\( m \in N' \cap n \)が存在して、任意の\( m' \in N' \cap n \)に対し\( m = m' \)または\( m \in m' \)を満たす。特に、\( m \in N' \cap n \)かつ\( N' \cap n \subset n \)より\( m \in n \)である。\( m' \in N' \)とする。\( \textrm{Ord} \)の推移性と\( m' \in N' \subset n' \)であることと\( n' \)の定義から、\( m' \)は順序数である。

排中律より、\( m' \in n \)または\( m' \notin n \)である。\( m' \in n \)ならば、\( m' \in N' \cap n \)となるので\( m \)の取り方から\( m = m' \)または\( m \in m' \)である。\( m' \notin n \)とする。\( \textrm{Ord} \)における\( \in \)と\( \subsetneq \)の同値性から、\( m' \subsetneq n \)でない。すなわち\( m' = n \)であるかまたは\( m' \subset n \)でない。\( m' = n \)ならば、\( m \in N' \cap n \subset n = m' \)であるので、\( m = m' \)または\( m \in m' \)が成り立つ。\( m' \subset n \)でないとする。この時、\( m' \setminus n \neq \emptyset \)であるので、順序数の差の性質と\( m' \)と\( n \)が順序数であることからある\( m' ' \in m' \setminus n \)が存在し\( m' ' \subset n \)を満たす。\( \textrm{Ord} \)における\( \in \)と\( \subsetneq \)の同値性と\( m' ' \notin n \)から、\( m' ' = n \)となる。すなわち\( n \in m' \setminus n \)である。\( m' \)に対する強整列性の条件(1)と\( m \in N' \cap n \subset n \in m' \setminus n \subset m' \)より、\( m \in m' \)である。特に、\( m = m' \)または\( m \in m' \)が成り立つ。以上より、\( n' \)は順序数である。

\( \textrm{Ord} \)に対する強整列性の条件(1)は\( \textrm{Ord} \)の推移性から従う。

\( \textrm{Ord} \)に対する強整列性の条件(2)
任意の\( n \in \textrm{Ord} \)と任意の\( n' \in \textrm{Ord} \)と任意の\( n' ' \in \textrm{Ord} \)に対し、\( n \in n' \)かつ\( n' \in n' ' \)ならば\( n \in n'' \)が成り立つことを示す。順序数の後続が順序数であることから、\( n' ' \cup \{ n' ' \} \in \textrm{Ord} \)である。\( n' ' \cup \{ n' ' \} \)に対する強整列性の条件(1)と\( n \in n' \in n' ' \in n' ' \cup \{ n' ' \} \)から、\( n \in n' ' \cup \{ n' ' \} \)かつ\( n' \in n' ' \in \{ n' ' \} \)である。\( n' ' \cup \{ n' ' \} \)に対する強整列性の条件(2)と\( n \in n' \in n' ' \)から、\( n \in n' ' \)である。

\( \textrm{Ord} \)に対する強整列性の条件(3)
任意の\( n \in \textrm{Ord} \)と任意の\( n' \in \textrm{Ord} \)に対し\( n \notin n' \)または\( n' \notin n \)が成り立つことを背理法で示す。\( n \in n' \)かつ\( n' \in n \)と仮定すると、順序数の正則性に反し、矛盾する。従って\( n \notin n' \)または\( n' \notin n \)が成り立つ。

\( \textrm{Ord} \)に対する強整列性の条件(4)
任意の\( n \in \textrm{Ord} \)と任意の\( n' \in \textrm{Ord} \)に対し\( n \neq n' \)ならば\( n \in n' \)または\( n' \in n \)が成り立つことを示す。順序数の後続が順序数であることと\( \textrm{Ord} \)が束をなすことから、\( (n \cup \{ n \}) \cup (n' \cup \{ n' \}) \)は順序数である。\( (n \cup \{ n \}) \cup (n' \cup \{ n' \}) \)に対する強整列性の条件(4)と\( n \in (n \cup \{ n \}) \cup (n' \cup \{ n' \}) \)かつ\( n' \in (n \cup \{ n \}) \cup (n' \cup \{ n' \}) \)から、\( n \in n' \)または\( n' \in n \)である。

\( \textrm{Ord} \)に対する強整列性の条件(5)
任意の部分クラス\( N \subset \textrm{Ord} \)に対し、\( N \neq \emptyset \)ならばある\( m \in N \)が存在して、任意の\( m' \in N \)に対し\( m = m' \)または\( m \in m' \)が成り立つことを示す。\( \bigcap_{n \in N} n \)を\( m \)と置く。\( \textrm{Ord} \)が束をなすことから、\( m \)は順序数である。順序数の正則性から、\( m \notin m \)である。\( m \)の定義と\( m \notin m \)から、ある\( n \in N \)が存在して\( m \notin n \)である。\( \textrm{Ord} \)における\( \in \)と\( \subsetneq \)の同値性と\( m \notin n \)から、\( m \subsetneq n \)でない。\( m \)の定義と\( n \in N \)から、\( m \subset n \)である。従って、\( m = n \in N \)である。\( m \)の定義から、任意の\( m' \in N \)に対して\( m \subset m' \)であり、\( \textrm{Ord} \)における\( \in \)と\( \subsetneq \)の同値性と\( m \notin n \)から、\( m = m' \)または\( m \in m' \)である。以上より、\( \textrm{Ord} \)は\( \in \)に関して強整列的である。

\( \textrm{Ord} \)が集合でないことを背理法で示す。\( \textrm{Ord} \)が集合であるとする。\( \textrm{Ord} \)の強整列性から、\( \textrm{Ord} \)は順序数をなす。すなわち\( \textrm{Ord} \in \textrm{Ord} \)である。これは順序数の正則性に反し、矛盾する。従って\( \textrm{Ord} \)は集合でない。