定式化１　p冪を法とした合同式

(1) \( y \in \mathbb{Z}/m_0 \mathbb{Z} \)とする。整数\( n \)を用いて\( y = [n]_{m_0} \)と置く。この時、\( P_{m_1 \to m_0}([n]_{m_1}) = [n]_{m_0} = y \)である。よって\( P_{m_1 \to m_0} \)は全射である。

\( x_0, x_1 \in \mathbb{Z}/m_1 \mathbb{Z} \)とする。\( P_{m_1 \to m_0}(x_0 + x_1) = P_{m_1 \to m_0}(x_0) + P_{m_1 \to m_0}(x_1) \)かつ\( P_{m_1 \to m_0}(x_0 - x_1) = P_{m_1 \to m_0}(x_0) - P_{m_1 \to m_0}(x_1) \)かつ\( P_{m_1 \to m_0}(x_0 x_1) = P_{m_1 \to m_0}(x_0) P_{m_1 \to m_0}(x_1) \)であることを示す。整数\( n_0 \)と\( n_1 \)を用いて\( x_0 = [n_0]_{m_1}, x_1 = [n_1]_{m_1] \)と置く。

\( P_{m_1 \to m_0}(x_0 + x_1) = P_{m_1 \to m_0}([n_0]_{m_1} + [n_1]_{m_1}) = P_{m_1 \to m_0}([n_0 + n_1]_{m_1}) = [n_0 + n_1]_{m_0} = [n_0]_{m_0} + [n_1]_{m_0} \)であり、\( P_{m_1 \to m_0}(x_0) + P_{m_1 \to m_0}(x_1) = P_{m_1 \to m_0}([n_0]_{m_1}) + P_{m_1 \to m_0}([n_1]_{m_1}) = [n_0]_{m_0} + [n_1]_{m_0} \)である。従って\( P_{m_1 \to m_0}(x_0 + x_1) = P_{m_1 \to m_0}(x_0) + P_{m_1 \to m_0}(x_1) \)である。

\( P_{m_1 \to m_0}(x_0 - x_1) = P_{m_1 \to m_0}([n_0]_{m_1} - [n_1]_{m_1}) = P_{m_1 \to m_0}([n_0 - n_1]_{m_1}) = [n_0 - n_1]_{m_0} = [n_0]_{m_0} - [n_1]_{m_0} \)であり、\( P_{m_1 \to m_0}(x_0) - P_{m_1 \to m_0}(x_1) = P_{m_1 \to m_0}([n_0]_{m_1}) - P_{m_1 \to m_0}([n_1]_{m_1}) = [n_0]_{m_0} - [n_1]_{m_0} \)である。従って\( P_{m_1 \to m_0}(x_0 - x_1) = P_{m_1 \to m_0}(x_0) - P_{m_1 \to m_0}(x_1) \)である。

\( P_{m_1 \to m_0}(x_0 x_1) = P_{m_1 \to m_0}([n_0]_{m_1} [n_1]_{m_1}) = P_{m_1 \to m_0}([n_0 n_1]_{m_1}) = [n_0 n_1]_{m_0} = [n_0]_{m_0} [n_1]_{m_0} \)であり、\( P_{m_1 \to m_0}(x_0) P_{m_1 \to m_0}(x_1) = P_{m_1 \to m_0}([n_0]_{m_1}) P_{m_1 \to m_0}([n_1]_{m_1}) = [n_0]_{m_0} [n_1]_{m_0} \)である。従って\( P_{m_1 \to m_0}(x_0 x_1) = P_{m_1 \to m_0}(x_0) P_{m_1 \to m_0}(x_1) \)である。

以上より、\( P_{m_1 \to m_0} \)は和と差と積を保つ。

(2) \( x \in \mathbb{Z}/m_2 \mathbb{Z} \)とする。整数\( n \)を用いて\( x = [n]_{m_2} \)と置く。この時、\( (P_{m_1 \to m_0} \circ P_{m_2 \to m_1})(x) = P_{m_1 \to m_0}(P_{m_2 \to m_1}(x) ) = P_{m_1 \to m_0}(P_{m_2 \to m_1}([n]_{m_2}) ) = P_{m_1 \to m_0}([n]_{m_1}) = [n]_{m_0} \)かつ\( P_{m_2 \to m_0}(x) = P_{m_2 \to m_0}([n]_{m_2}) = [n]_{m_0} \)であるので、\( (P_{m_1 \to m_0} \circ P_{m_2 \to m_1})(x) = P_{m_2 \to m_0}(x) \)である。よって\( P_{m_1 \to m_0} \circ P_{m_2 \to m_0} \)と\( P_{m_2 \to m_0} \)は等しい。

\( n_0 = n_1 \)ならば\( n_0^{(p)} = n_1^{(p)} \)であることは良い。\( n_0^{(p)} = n_1^{(p)} \)であると仮定する。\( n_0 = n_1 \)を示す。\( p \geq 2 \)なので、\( \lim_{r \to \infty} p^r = \infty \)である。従って、\( \lvert n_0 \rvert + \lvert n_1 \rvert < p^r \)を満たすような自然数\( r \)が存在する。列としての等式\( n_0^{(p)} = n_1^{(p)} \)から、両辺の第\( r \)項目を比較することで\( [n_0]_{p^r} = [n_1]_{p^r} \)を得る。これはすなわち、\( n_0 - n_1 \)が\( p^r \)の倍数ということである。しかし\( \lvert n_0 - n_1 \rvert \leq \lvert n_0 \rvert + \lvert n_1 \rvert < p^r \)であるので、\( \lvert n_0 - n_1 \rvert = 0 \)である。以上より、\( n_0 = n_1 \)である。

\( a = (a_r)_{r = 0}^{\infty} \)、\( b = (b_r)_{r = 0}^{\infty} \)と置く。\( r \in \mathbb{N} \)とする。\( a \)と\( b \)が\( p \)進整数であることから、\( P_{p^{r+1} \to p^r}(a_{r+1}) = a_r \)かつ\( P_{p^{r+1} \to p^r}(b_{r+1}) = b_r \)である。

(1) \( a+b = (a_r + b_r)_{r = 0}^{\infty} \)である。\( r \in \mathbb{N} \)とする。射影が和を保つことから\( P_{p^{r+1} \to p^r}(a_{r+1} + b_{r+1}) = P_{p^{r+1} \to p^r}(a_{r+1}) + P_{p^{r+1} \to p^r}(b_{r+1}) = a_r + b_r \)である。以上より、\( a+b \in \mathbb{Z}_p \)である。

(2) \( a-b = (a_r - b_r)_{r = 0}^{\infty} \)である。\( r \in \mathbb{N} \)とする。射影が差を保つことから\( P_{p^{r+1} \to p^r}(a_{r+1} - b_{r+1}) = P_{p^{r+1} \to p^r}(a_{r+1}) - P_{p^{r+1} \to p^r}(b_{r+1}) = a_r - b_r \)である。以上より、\( a-b \in \mathbb{Z}_p \)である。

(3) \( ab = (a_r b_r)_{r = 0}^{\infty} \)である。\( r \in \mathbb{N} \)とする。射影が積を保つことから\( P_{p^{r+1} \to p^r}(a_{r+1} b_{r+1}) = P_{p^{r+1} \to p^r}(a_{r+1}) P_{p^{r+1} \to p^r}(b_{r+1}) = a_r b_r \)である。以上より、\( ab \in \mathbb{Z}_p \)である。

まずは単射性を示す。\( (c_r)_{r = 0}^{\infty} \)と\( (d_r)_{r = 0}^{\infty} \)を\( p-1 \)以下の自然数のみからなる数列とし、その\( \prod_{r \in \mathbb{N}} \mathbb{Z}/p^r \mathbb{Z} \)での像\( c \)と\( d \)が等しいとする。\( r \)を自然数とする。\( c = d \)であることから、両辺の第\( r \)項目を比較することで\( [\sum_{i = 0}^{r-1} c_i p^i]_{p^r} = [\sum_{i = 0}^{r-1} d_i p^i]_{p^r} \)を得る。すなわち\( \sum_{i = 0}^{r-1} c_i p^i \)と\( \sum_{i = 0}^{r-1} d_i p^i \)を\( p^r \)で割った余りは等しい。ここで、\( 0 \leq \sum_{i = 0}^{r-1} (p-1)p^i = \sum_{i = 0}^{r-1} (p^{i+1} - p^i) = p^r - 1 < p^r \)であることから、\( \sum_{i = 0}^{r-1} c_i p^i \)と\( \sum_{i = 0}^{r-1} d_i p^i \)を\( p^r \)で割った余りはそれぞれ\( \sum_{i = 0}^{r-1} c_i p^i \)と\( \sum_{i = 0}^{r-1} d_i p^i \)自身に他ならず、従って\( \sum_{i = 0}^{r-1} c_i p^i = \sum_{i = 0}^{r-1} d_i p^i \)である。自然数の\( p \)進法表記の一意性から、\( (c_i)_{i = 0}^{r-1} = (d_i)_{i = 0}^{r-1} \)である。以上より、\( (c_r)_{r = 0}^{\infty} = (d_r)_{r = 0}^{\infty} \)である。すなわち写像\( p^{\mathbb{N}} \to \prod_{r \in \mathbb{N}} \mathbb{Z}/p^r \mathbb{Z}, \ (c_r)_{r = 0}^{\infty} \mapsto ([\sum_{i = 0}^{r-1} c_i p^i]_{p^r})_{r = 0}^{\infty} \)は単射である。

次に像が\( \mathbb{Z}_p \)であることを示す。\( (c_r)_{r = 0}^{\infty} \)を\( p-1 \)以下の自然数のみからなる数列とする。\( r \)を自然数とする。この時、\( P_{p^{r+1} \to p^r}([\sum_{i = 0}^{r} c_i p^i]_{p^{r+1}}) = [\sum_{i = 0}^{r} c_i p^i]_{p^r} = [\sum_{i = 0}^{r-1} c_i p^i]_{p^r} \)である。従って\( ([\sum_{i = 0}^{r-1} c_i p^i]_{p^r})_{r = 0}^{\infty} \in \mathbb{Z}_p \)である。

逆に\( a \)を\( p \)進整数とする。\( a = (a_r)_{r = 0}^{\infty} \)と置く。各\( r \)に対し、\( a_r = [n]_{p^r} \)かつ\( 0 \leq n \leq p^r-1 \)を満たす唯一の自然数\( n \)を\( n_r \)と置き、\( n_r \)を\( p \)進法表記することで、\( p-1 \)以下の自然数のみからなる長さ\( r \)の唯一の有限数列\( (c_{r,0},c_{r,1},\ldots,c_{r,r-1}) \)を用いて\( n_r = \sum_{i = 0}^{r-1} c_{r,i} p^i \)と置く。\( r \)を自然数とする。この時、

であることから、\( \sum_{i = 0}^{r-1} c_{r,i} p^i \)と\( \sum_{i = 0}^{r-1} c_{r+1,i} p^i \)を\( p^r \)で割った余りは等しい。ここで、\( 0 \leq \sum_{i = 0}^{r-1} (p-1)p^i = \sum_{i = 0}^{r-1} (p^{i+1} - p^i) = p^r - 1 < p^r \)であることから、\( \sum_{i = 0}^{r-1} c_{r,i} p^i \)と\( \sum_{i = 0}^{r-1} c_{r+1,i} p^i \)を\( p^r \)で割った余りはそれぞれ\( \sum_{i = 0}^{r-1} c_{r,i} p^i \)と\( \sum_{i = 0}^{r-1} c_{r+1,i} p^i \)自身に他ならず、従って\( \sum_{i = 0}^{r-1} c_{r,i} p^i = \sum_{i = 0}^{r-1} c_{r+1,i} p^i \)である。自然数の\( p \)進法表記の一意性から、\( (c_{r,i})_{i = 0}^{r-1} = (c_{r+1,i})_{i = 0}^{r-1} \)である。

\( p-1 \)以下の自然数のみからなる数列\( (c_{r,r})_{r = 0}^{\infty} \)を\( (c_r)_{r = 0}^{\infty} \)と置く*3。先程までの議論から、いかなる自然数\( r \)に対しても\( (c_i)_{i = 0}^{r-1} = (c_{r,i})_{i = 0}^{r} \)が成り立ち、よって\( a_r = [n_r] = [\sum_{i = 0}^{r-1} c_{r,i} p^i]_{p^r} = [\sum_{i = 0}^{r-1} c_i p^i]_{p^r} \)となる。従って\( a = (a_r)_{r = 0}^{\infty} = ([\sum_{i = 0}^{r-1} c_i p^i]_{p^r})_{r = 0}^{\infty} \)である。

以上より、写像\( p^{\mathbb{N}} \to \prod_{r \in \mathbb{N}} \mathbb{Z}/p^r \mathbb{Z}, \ (c_r)_{r = 0}^{\infty} \mapsto ([\sum_{i = 0}^{r-1} c_i p^i]_{p^r})_{r = 0}^{\infty} \)の像は\( \mathbb{Z}_p \)と等しい。

\( a := ([\sum_{i = 0}^{r-1} p^{2i}]_{p^r})_{r = 0}^{\infty} \in \prod_{r \in \mathbb{N}} \mathbb{Z}/p^r \mathbb{Z} \)と置く。\( p \)進数展開の一意存在性より、\( a \)は\( p \)進整数である。\( a \)が\( \mathbb{Z} \)の像に属さないことを示す。まず

である。\( a = n^{(p)} \)を満たす整数\( n \)が存在すると仮定する。\( 1^{(p)} = (1-p^2)^{(p)}a = (1-p^2)^{(p)} n^{(p)} = ( (1-p^2)n)^{(p)} \)である。従って整数の法\( p \)冪表示の単射性より、\( 1 = (1-p^2)n \)である。\( p \)が\( 2 \)以上の自然数であることから、\( \lvert 1 - p^2 \rvert = \lvert 1-p \rvert \ \lvert 1+p \rvert \geq 3 \)であり、これは\( 1 = (1-p^2)n \)に反し矛盾する。従って\( a = n^{(p)} \)を満たす整数\( n \)は存在しない。以上より、単射\( \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}_p, \ n \mapsto n^{(p)} \)は全射でない。

\( a = (a_r)_{r = 0}^{\infty} \)、\( b = (b_r)_{r = 0}^{\infty} \)と置く。\( a \neq 0^{(p)} \)より、\( a_{r_0} \neq [0]_{p^{r_0}} \)を満たすような自然数\( r_0 \)が存在する。\( b \neq 0^{(p)} \)より、\( b_{r_1} \neq [0]_{p^{r_1}} \)を満たすような自然数\( r_1 \)が存在する。\( r_2 := r_0 + r_1 \)と置く。\( P_{p^{r_2} \to p^{r_0}}([0]_{p^{r_2}}) = [0]_{p^{r_0}} \neq a_{r_0} \)より、\( a_{r_2} \neq [0]_{p^{r_2}} \)である。\( P_{p^{r_2} \to p^{r_1}}([0]_{p^{r_2}}) = [0]_{p^{r_1}} \neq b_{r_1} \)より、\( b_{r_2} \neq [0]_{p^{r_2}} \)である。整数\( n_0 \)と\( n_1 \)を用いて\( a_{r_2} = [n_0]_{p^{r_2}}, b_{r_2} = [n_1]_{p^{r^2}} \)と置く。\( [0]_{p^{r_0}} \neq a_{r_0} = P_{p^{r_2} \to p^{r_0}}(a_{r_2}) = P_{p^{r_2} \to p^{r_0}}([n_0]_{p^{r_2}}) = [n_0]_{p^{r_0}} \)より、\( n_0 \)は\( p^{r_0} \)の倍数でない。\( [0]_{p^{r_1}} \neq b_{r_1} = P_{p^{r_2} \to p^{r_1}}(b_{r_1}) = P_{p^{r_2} \to p^{r_1}}([n_1]_{p^{r_2}}) = [n_1]_{p^{r_1}} \)より、\( n_1 \)は\( p^{r_1} \)の倍数でない。

\( p \)が素数であり、\( n_0 \)が\( p^{r_0} \)の倍数でなく、\( n_1 \)が\( p^{r_1} \)の倍数でないことから、\( n_0 n_1 \)は\( p^{r_0 + r_1} = p^{r_2} \)の倍数でない。すなわち\( a_{r_2} b_{r_2} = [n_0]_{p^{r_2}} [n_1]_{p^{r_2}} = [n_0 n_1]_{p^{r_2}} \neq [0]_{p^{r_2}} \)である。特に、\( ab = (a_r b_r)_{r = 0}^{\infty} \neq 0^{(p)} \)である。

まずは単射であることを示す。\( q_0 \)と\( q_1 \)を有理数とし、その\( \mathbb{Q}_p \)での像が等しいとする。整数\( n_0 \)と\( n_1 \)と\( 0{} \)でない整数\( m_0 \)と\( m_1 \)を用いて\( q_0 = \frac{n_0}{m_0}, q_1 = \frac{n_1}{m_1} \)と置く。この時、\( \frac{n_0^{(p)}}{m_0^{(p)}} = \frac{n_1^{(p)}}{m_1^{(p)}} \)であるので、両辺に\( m_0^{(p)} m_1^{(p)} \)を掛けて\( n_0^{(p)} m_1^{(p)} = n_1^{(p)} m_0^{(p)} \)となる。すなわち\( (n_0 m_1)^{(p)} = (n_1 m_0)^{(p)} \)である。従って整数の法\( p \)冪表示の単射性より、\( n_0 m_1 = n_1 m_0 \)である。よって\( q_0 = \frac{n_0}{m_0} = \frac{n_1}{m_1} = q_1 \)である。以上より写像\( \mathbb{Q} \to \mathbb{Q}_p, \ \frac{n}{m} \to \frac{n^{(p)}}{m^{(p)}} \)は単射である。

次に全射でないことを示す。\( a := ([\sum_{i = 0}^{r-1} p^{i^2}]_{p^r})_{r = 0}^{\infty} \)と置く。\( p \)進数展開の一意存在性から、\( a \)は\( p \)進整数である。\( a \)が有理数の像でないことを示す*4。有理数\( q \)の\( \mathbb{Q}_p \)での像が\( a \)と等しいと仮定する。整数\( n \)と正の整数\( m \)を用いて\( q = \frac{n}{m} \)と置く。仮定より、\( a = \frac{n^{(p)}}{m^{(p)}} \)であり、両辺に\( m^{(p)} \)を掛けて\( m^{(p)} a = n^{(p)} \)を得る。すなわち\( m^{(p)} a - n^{(p)} = 0^{(p)} \)である。

\( \lim_{r \to \infty} (r+1)^2 - r^2 = \lim_{r \to \infty} 2r + 1 = \infty \)より、\( m < p^{(r+1)^2 - r^2 - 1} \)かつ\( \lvert n \rvert < p^{r^2 - 1} \)を満たすような正の自然数\( r \)が存在する。この時\( a \)の第\( (r+1)^2 \)項目は\( [\sum_{i = 0}^{(r+1)^2-1} p^{i^2}]_{p^{(r+1)^2}} = [\sum_{i = 0}^{r} p^{i^2}]_{p^{(r+1)^2}} \)であるので、\( m^{(p)} a \)の第\( (r+1)^2 \)項目は

である。ここで、\( r \geq 1 \)より

であり、従って

である。\( r \geq 1 \)かつ\( \lvert n \rvert < p^{r^2 - 1} \)より

となり、これは\( m^{(p)} a - n^{(p)} = 0^{(p)} \)の第\( r^2 \)項目\( [(m \sum_{i = 0}^{r} p^{i^2}) - n]_{p^{r^2}} \)が\( [0]_{p^{r^2}} \)であることに反し矛盾する。以上より、\( a \)は有理数の像でない。従って写像\( \mathbb{Q} \to \mathbb{Q}_p, \ \frac{n}{m} \to \frac{n^{(p)}}{m^{(p)}} \)は全射でない。