付値環

まず\( V \)が付値環であるとする。この時\( V \)は整域である。\( V \)のイデアル全体が包含関係について全順序集合をなすことを示す。関係の例(2)から包含関係は半順序をなす。\( J_0 \)と\( J_1 \)を\( V \)のイデアルとし、\( J_1 \subset J_0 \)でないと仮定する。\( J_0 \subset J_1 \)であることを示す。\( c_0 \in J_0 \)とする。\( J_1 \subset J_0 \)でないので、ある\( c_1 \in J_1 \setminus J_0 \)が存在する。\( c_1 \notin J_0 \)かつ\( V c_0 \subset J_0 \)より、\( c_1 \notin V c_0 \)である。\( V \)が付値環であることから、\( c_0 \in V c_1 \)である。以上より、\( J_0 \subset V c_1 \subset J_1 \)である。従って、\( V \)のイデアル全体が包含関係について全順序集合をなす。

次に\( V \)が整域でありかつ\( V \)のイデアル全体が包含関係について全順序集合をなすとする。\( V \)が付値環をなすことを示す。\( (c_i)_{i \in 2} \)とする。イデアルの包含関係の全順序性より、\( V c_0 \subset V c_1 \)または\( V c_1 \subset V c_0 \)が成り立つ。\( V c_0 \subset V c_1 \)ならば\( c_0 \in V c_1 \)であり、\( V c_1 \subset V c_0 \)ならば\( c_1 \in V c_0 \)である。従って、\( V \)は付値環である。

\( V \)を付値環とする。\( m := V \setminus V^{\times} \)と置く。\( m \)が\( V \)の唯一の極大イデアルであることを示す。

\( V \)は整域なので、\( 0_V \notin V^{\times} \)である。すなわち\( 0_V \in m \)である。

\( (c_0,c_1) \in V \times m \)とする。\( c_1 \notin V^{\times} \)より\( c_0 c_1 \notin V^{\times} \)である。すなわち\( c_0 c_1 \in m \)である。

\( (c_i)_{i \in 2} \in m^2 \)とする。\( V \)が付値環なので、\( c_0 \in V c_1 \)または\( c_1 \in V c_0 \)が成り立つ。\( c_0 \in V c_1 \)ならば\( c_0 + c_1 \in V c_1 \subset m \)であり、\( c_1 \in V c_0 \)ならば\( c_0 + c_1 \in V c_0 \subset m \)である。従っていずれの場合も\( c_0 + c_1 \in m \)である。以上より、\( m \)は\( V \)のイデアルである。

\( 1_V \in V^{\times} \)より、\( 1_V \notin m \)である。従って\( m \)は真イデアルである。

\( J \)を\( V \)の真イデアルとする。任意の\( c \in J \)に対し、\( V c \in J \)かつ\( 1_V \notin J \)より、\( c \notin V^{\times} \)である。従って\( J \subset m \)である。以上より、\( m \)は\( V \)の包含関係について最大の真イデアルであり、特に唯一の極大イデアルである。すなわち、\( V \)は局所環である。

\( V \)がベズーであることを示す。そのための準備として、任意の自然数\( k \)に対し「濃度\( k \)の任意の部分集合\( S \subset V \)に対し、\( V S \)が単項イデアルである」、ということを\( k \)に関する数学的帰納法で示す。濃度\( 0{} \)の部分集合\( S \subset V \)は空集合に限られ、\( V S = \{ 0_V \} = V 0_V \)である。濃度\( k \)の任意の部分集合\( S \subset V \)に対し、\( V S \)が単項イデアルであると仮定する。部分集合\( S \subset V \)を濃度\( k + 1 \)とする。\( k + 1 > 0 \)より、ある\( c \in S \)が存在する。\( S \setminus \{ c \} \)の濃度は\( k \)であるので、\( V (S \setminus \{ c \}) \)は単項イデアルである。\( V c' = V (S \setminus \{ c \}) \)を満たす\( c' \in V (S \setminus \{ c \}) \)を取る。\( V S = V \{ c, c' \} \)である。\( V \)が付値環なので、\( c \in V c' \)または\( c' \in V c \)が成り立つ。\( c \in V c' \)ならば\( V \{ c, c' \} = V c' \)であり、\( c' \in V c \)ならば\( V \{ c, c' \} = V c \)である。従っていずれの場合も\( V S \)は単項イデアルである。以上より、任意の自然数\( k \)に対し、濃度\( k \)の任意の部分集合\( S \subset V \)に対し\( V S \)が単項イデアルである。

\( J \subset V \)を有限生成イデアルとする。\( J \)を生成する有限部分集合\( S \subset J \)を取る。\( \# S \)を\( k \in \mathbb{N} \)と置く。\( S \subset V \)は濃度\( k \)の部分集合であるので、\( V S = J \)は単項イデアルである。以上より、\( V \)はベズーである。

\( V \)が離散付値環であるとする。\( V \)は非自明付値環である。\( V \)が単項イデアル整域であることを示す。全射\( \nu \colon V \setminus \{ 0_V \} \twoheadrightarrow \mathbb{N} \)であって、任意の\( (c_i)_{i \in 2} \in (V \setminus \{ 0_V \})^2 \)に対して\( c_0 \in V c_1 \)と\( \nu(c_1) \leq \nu(c_0) \)が同値であるものを取る。\( J \subset V \)をイデアルとする。\( J = \{ 0_V \} \)ならば\( J \)は単項イデアル\( V 0_V \)である。\( J \neq \{ 0_V \} \)とする。\( J \setminus \{ 0_V \} \neq \emptyset \)より、\( \nu(J \setminus \{ 0_V \}) \neq \emptyset \)である。自然数が順序数であることから、\( \nu(J \setminus \{ 0_V \}) \)は\( \leq \)に関する最小元\( n \)を持つ。\( \nu(c) = n \)を満たす\( c \in J \setminus \{ 0_V \} \)を取る。任意の\( c' \in J \)に対し、\( c' = 0_V \)ならば\( c' \in V c \)であり、\( c' \neq 0_V \)ならば\( \nu(c) = n \leq \nu(c') \)より\( c' \in V c \)である。従って\( J = V c \)である。以上より、\( V \)は単項イデアル整域である。

\( V \)が非自明付値環でありかつ単項イデアル整域であるとする。\( V \)の任意のイデアルは単項イデアルであり、特に有限生成である。従って\( V \)はネーターである。

\( V \)が非自明付値環でありかつネーターであるとする。\( V \)が離散付値環であることを示す。付値環が局所環であることより\( V \)はただ１つの極大イデアル\( m \)を持つ。\( V \)がネーターであることと付値環がベズー整域であることから\( V \)は単項イデアル整域である。従って、ある\( \varpi \in m \)が存在して\( V \varpi = m \)であり、またある\( \epsilon \in \bigcap_{n \in \mathbb{N}} V \varpi^n \)が存在して\( V \epsilon = \bigcap_{n \in \mathbb{N}} V \varpi^n \)である。\( V \varpi = m \)が極大イデアルであることから\( \varpi \notin V^{\times} \)である。\( \varpi = 0_V \)と仮定すると、\( \{ 0_V \} = V \varpi = m \)が\( V \)の極大イデアルとなり、体と極大イデアルの関係より\( V \)が体となってしまい、これは\( V \)が非自明付値環であることに反し矛盾する。従って\( \varpi \neq 0_V \)である。

\( \epsilon = 0_V \)となることを示す。\( \epsilon \in \bigcap_{n \in \mathbb{N}} V \varpi^n \subset V \varpi \)より、ある\( \epsilon' \in V \)が存在して\( \epsilon' \varpi = \epsilon \)である。\( \epsilon' \in V \epsilon \)となることを示す。\( n \in \mathbb{N} \)とする。\( \epsilon \in V \varpi^{n+1} \)よりある\( c \in V \)が存在して\( c \varpi^{n+1} = \epsilon \)となる。\( (\epsilon' - c \varpi^n) \varpi = \epsilon' \varpi - c \varpi^{n+1} = \epsilon - \epsilon = 0_V \)となる。\( V \)が整域でありかつ\( \varpi \neq 0_V \)であることから、\( \epsilon' - c \varpi^n = 0_V \)である。従って\( \epsilon' = c \varpi^n \in V \varpi^n \)である。以上より\( \epsilon' \in \bigcap_{n \in \mathbb{N}} V \varpi^n = V \epsilon \)である。

\( u \epsilon = \epsilon' \)を満たす\( u \in V \)を取る。\( (u \varpi - 1_V) \epsilon = u \varpi \epsilon - \epsilon = \epsilon' \varpi - \epsilon = 0_V \)である。\( V \)が整域であることと\( \varpi \notin V^{\times} \)から、\( \epsilon = 0_V \)となる。以上より、\( \bigcap_{n \in \mathbb{N}} V \varpi^n = V \epsilon = V 0_V = \{ 0_V \} \)である。

任意の\( c \in V \setminus \{ 0_V \} \)に対し、\( c \notin \{ 0_V \} = \bigcap_{n \in \mathbb{N}} V \varpi^n \)より\( \{ n \in \mathbb{N} \mid c \notin V \varpi^{n+1} \} \)は空でなく、自然数が順序数であることから\( \leq \)に関する最小元\( n_c \)を持ち、\( c \in V V 1_V = V \varpi^0 \)であることから、\( n_c \)は\( \{ n \in \mathbb{N} \mid c \in V \varpi^n \} \)の\( \leq \)に関する最大値でもある。写像\( V \setminus \{ 0_V \} \to \mathbb{N}, \ c \mapsto n_c \)を\( \nu \)と置く。

\( \nu \)が全射であることを示す。\( n \in \mathbb{N} \)とする。任意の\( i \in n \)に対し\( \varpi^n \in V \varpi^{i+1} \)であるので\( \nu(\varpi^n) \geq n \)である。\( \varpi^n \in V \varpi^{n+1} \)と仮定すると、\( c \varpi^{n+1} = \varpi^n \)を満たす\( c \in V \)が存在するが、\( (c \varpi - 1) \varpi^n = c \varpi^{n+1} - \varpi^n = 0_V \)となり、これは\( V \)が整域であることと\( \varpi \notin V^{\times} \)と\( \varpi \neq 0 \)に反し矛盾する。従って\( \varpi^n \notin V \varpi^{n+1} \)である。以上より\( \nu(\varpi^n) = n \)である。すなわち\( \nu \)は全射である。

\( (c_i)_{i \in 2} \in (V \setminus \{ 0_V \})^2 \)とする。\( c_0 \in V c_1 \)と\( \nu(c_1) \leq \nu(c_0) \)が同値であることを示す。まず\( c_0 \in V c_1 \)とする。\( c_0 \notin V \varpi^{\nu(c_0) + 1} \)かつ\( c_0 \in V c_1 \)であるので、\( c_1 \notin V \varpi^{\nu(c_0) + 1} \)である。従って\( \nu(c_1) \leq \nu(c_0) \)である。次に\( \nu(c_1) \leq \nu(c_0) \)とする。この時\( (c_i)_{i \in 2} \in (V \varpi^{\nu(c_1)})^2 \)であり、従ってある\( (c'_i)_{i \in 2} \in V^2 \)が存在して\( c'_0 \varpi^{\nu(c_1)} = c_0 \)かつ\( c'_1 \varpi^{\nu(c_1)} = c_1 \)が成り立つ。また\( c'_1 \varpi^{\nu(c_0)} = c_1 \notin V \varpi^{\nu(c_1) + 1} \)より、\( c'_1 \notin V \varpi = m \)である。付値環の極大イデアルの性質から\( m = V \setminus V^{\times} \)であり、よって\( c'_1 \in V^{\times} \)である。従って、\( c_0 = c'_0 \varpi^{\nu(c_1)} = c'_0 (c'_1)^{-1} c'_1 \varpi^{\nu(c_0)} = c'_0 (c'_1)^{-1} c_1 \in V c_1 \)である。以上より、\( c_0 \in V c_1 \)と\( \nu(c_1) \leq \nu(c_0) \)が同値である。すなわち\( V \)は離散付値環である。