章末問題０

Last-modified: Sun, 28 May 2017 13:37:26 JST (2522d)
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演習1
与えられた素数\( p \)に対して、与えられた自然数\( n \)を\( p \)進法で表記せよ。
(1) \( p=2, n=11 \)
(2) \( p=3, n=29 \)
(3) \( p=5, n=100 \)
(4) \( p=7, n=319 \)
(5) \( p=11, n=1001 \)
(6) \( p=13, n=60923 \)

解答例

順次掲載します。

演習2
与えられた自然数\( n \)を\( 10 \)進法で表記せよ。ただし\( A \)は\( 2 \times 5 \)のこととする。
(1) \( n = 101101_{(2)} \)
(2) \( n = 2010_{(3)} \)
(3) \( n = 41_{(5)} \)
(4) \( n = 16_{(7)} \)
(5) \( n = AA_{(11)} \)
(6) \( n = AA_{(13)} \)

解答例

順次掲載します。

演習3
与えられた式を計算せよ。ただし\( A \)は\( 2 \times 5 \)のこととする。答えは何進法表記でも良い。
(1) \( 1.01_{(2)} + 11.011_{(2)} \)
(2) \( 222.12_{(3)} - 112.1_{(3)} \)
(3) \( A93A.2A_{(11)} + 21A7.28_{(11)} \)

解答例

順次掲載します。

演習4
与えられた式を計算せよ。答えは何進法表記でも良い。
(1) \( 11_{(2)} \times 10.1_{(2)} \)
(2) \( 21_{(3)} \times 2_{(3)} \)
(3) \( 32_{(5)} \times 21_{(5)} \)

解答例

順次掲載します。

演習5
与えられた式を計算せよ。
(1) \( (\cdots 1111111111_{(2)}) + (\cdots 000000000011_{(2)}) \)
(2) \( (\cdots 1212121212_{(3)}) + (\cdots 2121212121_{(3)}) \)
(3) \( (\cdots 3333333333_{(5)}) + (\cdots 2222222222_{(5)}) \)

解答例

順次掲載します。

演習6
与えられた式を\( 0{} \)でない一番右の桁から10桁目まで計算せよ。
(1) \( (\cdots 0101010101_{(2)}) \times (\cdots 000000000101_{(2)}) \)
(2) \( (\cdots 1111111111_{(3)}) \times (\cdots 1111111111_{(3)}) \)
(3) \( (\cdots 3232323232_{(5)}) \times (\cdots 1212121212_{(5)}) \)

解答例

順次掲載します。

演習7
与えられた素数\( p \)に対して、与えられた負の整数\( n \)を\( p \)進数として表示せよ。
(1) \( p=2, n=-2 \)
(2) \( p=3, n=-8 \)
(3) \( p=5, n=-12 \)

解答例

順次掲載します。

演習8
与えられた\( p \)進数\( \alpha \)に対応する負の整数を求めよ。ただし\( u \)は\( p-1 \)である。
(1) \( \alpha = \cdots uuuuuuuuuu1_{(p)} \)
(2) \( \alpha = \cdots 222222222210_{(3)} \)
(3) \( \alpha = \cdots 444444444413_{(5)} \)
(4) \( \alpha = \cdots 6666666666152_{(7)} \)

解答例

(1) \( \alpha + u^{(p)} = (\cdots uuuuuuuuuu1_{(p)}) + (\cdots 0000000000u_{(p)}) = (\cdots 0000000000_{(p)}) = 0^{(p)} \)であるので、\( \alpha = (-u)^{(p)} \)である。すなわち\( \alpha \)は負の整数\( -u = 1-p \)に対応する。

(2) \( \alpha + 6^{(3)} = (\cdots 222222222210_{(3)}) + (\cdots 000000000020_{(3)}) = (\cdots 0000000000_{(p)}) = 0^{(p)} \)であるので、\( \alpha = (-6)^{(3)} \)である。すなわち\( \alpha \)は負の整数\( -6 \)に対応する。

残りも順次掲載します。

演習9
与えられた素数\( p \)に対して、与えられた正の有理数\( r \)を\( p \)進数として表示せよ。
(1) \( p=2, r = \frac{1}{8} \)
(2) \( p=3, r = \frac{1}{4} \)
(3) \( p=5, r = \frac{2}{3} \)

解答例

順次掲載します。

演習10
与えられた\( p \)進数\( \alpha \)に対応する正の有理数を自然数の分数で表記せよ。
(1) \( \alpha = \cdots 101010101011_{(p)} \)
(2) \( \alpha = \cdots 1111111111212_{(3)} \)
(3) \( \alpha = \cdots 222222222231.3_{(5)} \)
(4) \( \alpha = \cdots 333333333342.4_{(5)} \)

解答例

(1) \( p-1 \)を\( u \)と置き、\( p-2 \)を\( v \)と置く。\( (p^2)^{(p)} \times \alpha = (\cdots 0000000000100_{(p)}) \times (\cdots 101010101011_{(p)}) = (\cdots 10101010101100_{(p)}) \)かつ\( \alpha + (p^2 - p - 1)^{(p)} = \alpha + ( (p-2)p + (p-1) )^{(p)} = (\cdots 101010101011_{(p)}) + (\cdots 0000000000vu_{(p)}) = (\cdots 10101010101100_{(p)}) \)であるので、\( (p^2)^{(p)} \times \alpha = \alpha + (p^2 - p - 1)^{(p)} \)である。従って、

\[ (p^2 - 1)^{(p)} \times \alpha = (p^2)^{(p)} \times \alpha + (-1)^{(p)} \times \alpha = \alpha + (p^2 - p - 1)^{(p)} + (-1)^{(p)} \times \alpha = (p^2 - p - 1)^{(p)} \]

となり、

\[ \alpha = ( (p^2 - 1)^{(p)})^{-1} \times (p^2 - 1)^{(p)} \times \alpha = ( (p^2 - 1)^{(p)})^{-1} \times (p^2 - p - 1)^{(p)} = \left( \frac{p^2 - p - 1}{p^2 - 1} \right)^{(p)} \]

である。すなわち\( \alpha \)は正の有理数\( \frac{p^2 - p - 1}{p^2 - 1} \)に対応する。

(2) \( 3^{(3)} \times \alpha = (\cdots 000000000010_{(3)}) \times (\cdots 1111111111212_{(3)}) = (\cdots 11111111112120_{(3)}) \)かつ\( \alpha + 19^{(3)} = (\cdots 1111111111212_{(p)}) + (\cdots 0000000000201_{(3)}) = (\cdots 11111111112120_{(3)}) \)であるので、\( 3^{(3)} \times \alpha = \alpha + 19^{(p)} \)である。従って、

\[ 2^{(3)} \times \alpha = (3 - 1)^{(3)} \times \alpha = 3^{(3)} \times \alpha + (-1)^{(3)} \times \alpha = \alpha + 19^{(3)} + (-1)^{(3)} \times \alpha = 19^{(3)} \]

となり、

\[ \alpha = (2^{(3)})^{-1} \times 2^{(3)} \times \alpha = (2^{(3)})^{-1} \times 19^{(3)} = \left( \frac{19}{2} \right)^{(p)} \]

である。すなわち\( \alpha \)は正の有理数\( \frac{19}{2} \)に対応する。

残りも順次掲載します。

演習11
与えられた素数\( p \)に対して、与えられた負の有理数\( r \)を\( p \)進数として表示せよ。
(1) \( p=2, r = - \frac{1}{2} \)
(2) \( p=3, r = - \frac{1}{2} \)
(3) \( p=5, r = - \frac{1}{2} \)

解答例

順次掲載します。

演習12
与えられた\( p \)進数\( \alpha \)に対応する負の有理数を自然数の符号付き分数で表記せよ。
(1) \( \alpha = \cdots 1010101010_{(p)} \)
(2) \( \alpha = \cdots 2121212121_{(3)} \)
(3) \( \alpha = \cdots 1111111111.11_{(5)} \)
(4) \( \alpha = \cdots 4242424242.42_{(5)} \)

解答例

(1) \( (p^2)^{(p)} \times \alpha = (\cdots 0000000000100_{(p)}) \times (\cdots 1010101010_{(p)}) = \cdots 101010101000_{(p)} \)である。従って\( (p^2)^{(p)} \times \alpha + p^{(p)} = (\cdots 101010101000_{(p)}) + (\cdots 000000000010_{(p)}) = \cdots 1010101010_{(p)} = \alpha \)である。以上より、

\[ (p^2 - 1)^{(p)} \times \alpha = (p^2)^{(p)} \times \alpha + (-1)^{(p)} \times \alpha = (p^2)^{(p)} \times \alpha + (-1)^{(p)} \times ( (p^2)^{(p)} \times \alpha + p^{(p)}) = (-1)^{(p)} \times p^{(p)} = (-p)^{(p)} \]

となるので、

\[ \alpha = ( (p^2 - 1)^{(p)})^{-1} \times (p^2 - 1)^{(p)} \times \alpha = ( (p^2 - 1)^{(p)})^{-1} \times (-p)^{(p)} = \left( - \frac{p}{p^2 - 1} \right)^{(p)} \]

である。すなわち\( \alpha \)は負の有理数\( - \frac{p}{p^2 - 1} \)に対応する。

(2) \( 9^{(3)} \times \alpha = (\cdots 000000000100_{(3)}) \times (\cdots 2121212121_{(3)}) = \cdots 212121212100_{(3)} \)である。従って\( 9^{(3)} \times \alpha + 7^{(3)} = (\cdots 212121212100_{(3)}) + (\cdots 000000000021_{(3)}) = \cdots 2121212121_{(3)} = \alpha \)である。以上より、

\[ 8^{(3)} \times \alpha = (9 - 1)^{(3)} \times \alpha = 9^{(3)} \times \alpha + (-1)^{(3)} \times \alpha = 9^{(3)} \times \alpha + (-1)^{(3)} \times (9^{(3)} \times \alpha + 7^{(3)}) = (-1)^{(3)} \times 7^{(3)} = (-7)^{(3)} \]

となるので、

\[ \alpha = (8^{(3)})^{-1} \times 8^{(3)} \times \alpha = (8^{(3)})^{-1} \times (-7)^{(3)} = \left( - \frac{7}{8} \right)^{(3)} \]

である。すなわち\( \alpha \)は負の有理数\( - \frac{7}{8} \)に対応する。

残りも順次掲載します。

演習13
与えられた素数\( p \)に対して、\( x^2 = -1 \)を満たす\( p \)進数\( x \)が存在するならばその１つを\( 0{} \)でない一番右の桁から5桁目まで表示し、存在しないならば存在しないことを証明せよ。
(1) \( p=2 \)
(2) \( p=3 \)
(3) \( p=5 \)

解答例

順次掲載します。

第１章　素朴な\( p \)進数の定式化へ進む。