章末問題７

(2)ならば(1)は明らかである。(1)を仮定する。(2)を示す。\( (G,\bullet) \)が結合的であることから\( (H,\bullet |_{H^2}^{H}) \)も結合的であり、また\( 1_{(G,\bullet)} \)は\( (H,\bullet |_{H^2}^{H}) \)の単位元をなすので、\( (H,\bullet |_{H^2}^{H}) \)はモノイドをなす。半群の単位元の一意性を用いた\( 1_{(H,\bullet |_{H^2}^{H})} \)の定義より\( 1_{(H,\bullet |_{H^2}^{H})} = 1_{(G,\bullet)} \)である。

「(3)ならば(2)」であることを反証する。半群とモノイドの例4(2)より\( \mathbb{N} \)は乗法\( \times \)に関して可換モノイドをなし、\( \{ 0 \} \subset \mathbb{N} \)はその部分モノイドをなす。しかし\( 1_{(\{ 0 \}, \times |_{\{ 0 \}^2}^{\{ 0 \}})} = 0 \neq 1 = 1_{(\mathbb{N},\times)} \)である。

以下では各\( g \in G \)の\( (G,\bullet) \)における逆元を\( g^{-1} \in G \)で表す。(1)と(2)が同値であることを示す。

(1)ならば(2)は明らかである。(2)を仮定する。(1)を示す。\( (G,\bullet) \)が結合的であることから\( (H,\bullet |_{H^2}^{H}) \)も結合的であり、また\( 1_{(H,\bullet |_{H^2}^{H})}^{-1} \in H \)であることから、\( 1_{(G,\bullet)} = 1_{(H,\bullet |_{H^2}^{H})}^{-1} \cdot 1_{(H,\bullet |_{H^2}^{H})} \in H \)である。

演習1#firstから\( 1_{(H,\bullet |_{H^2}^{H})} = 1_{(G,\bullet)} \)である。\( h \in H \)とする。\( 1_{(H,\bullet |_{H^2}^{H})} = 1_{(G,\bullet)} \)より、\( h \)の\( (H,\bullet |_{H^2}^{H}) \)での逆元は\( (G,\bullet) \)での逆元をなす。モノイドの逆元の一意性を用いた\( h^{-1} \)の定義より、\( h^{-1} \in H \)である。

随時掲載します。

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