自然数の引き算の定義

自然数の加法の基本性質(4)より、任意の\( (n,m) \in \mathbb{N}^2 \)に対し、\( m \in n + 1 \)ならばただ１つの\( l \in \mathbb{N} \)が存在して\( l + m = n \)であり、そのような\( l \)を\( a_{n,m} \)と置く。写像\( \{ (n,m) \in \mathbb{N}^2 \mid m \in n + 1 \} \to \mathbb{N}, \ (n,m) \mapsto a_{n,m} \)を\( {-} \)と置く。

まず任意の\( n \in \mathbb{N} \)に対し、\( 0 + n = n \)より\( n - 0 = 0 \)である。次に任意の\( (n,m) \in \mathbb{N}^2 \)に対し、\( m \in n \)ならば自然数が順序数であることと順序数の正則性により\( 0 + m = m \neq n \)となるので\( n - m \neq 0 \)であり、かつ\( ( (n - m) - 1) + (m + 1) = ( (n - m) - 1) + (1 + m) = ( ( (n - m) - 1) + 1) + m = (n - m) + m = n \)より\( n - (m + 1) = (n - m) - 1 \)である。

また、写像\( {\ominus} \colon \{ (n,m) \in \mathbb{N}^2 \mid m \in n + 1 \} \to \mathbb{N} \)が任意の\( n \in \mathbb{N} \)に対し\( n \ominus 0 = n \)を満たし、かつ\( (n,m) \in \mathbb{N}^2 \)に対し、\( m \in n \)ならば\( n \ominus m \neq 0 \)かつ\( n \ominus (m + 1) = (n \ominus m) \ominus 1 \)を満たすとする。\( {\ominus} = {-} \)を示す。\( n \in \mathbb{N} \)とする。任意の\( m \in n + 1 \)に対し\( n \ominus m = n - m \)となることを数学的帰納法で示す*1。まず\( n \ominus 0 = n = n - 0 \)である。次に\( m \in n + 1 \)が\( m + 1 \in n + 1 \)かつ\( n \ominus m = n - m \)を満たすとする*2と、\( (n \ominus (m + 1)) + (m + 1) = ( (n \ominus m) \ominus 1) + (m + 1) = ( (n \ominus m) \ominus 1) + (1 + m) = ( ( (n \ominus m) \ominus 1) + 1) + m = (n \ominus m) + m = n \)より\( n \ominus (m + 1) = n - (m + 1) \)である。すなわち、任意の\( m \in n + 1 \)に対し\( n \ominus m = n - m \)となる。

(1) 任意の\( n \in \mathbb{N} \)に対し、\( (n - m) + m = n \)であることは定義より従う。

(2) 次に\( (n,m) \in \mathbb{N}^2 \)に対し、\( n + m = n + m \)と\( {-} \)の定義より\( (n + m) - m = n \)である。

(3) 任意の\( (n,m) \in \mathbb{N}^2 \)に対し、\( m \in n + 1 \)ならば\( (n - m) + (m + 1) = ( (n - m) + m) + 1 = n + 1 \)より\( (n + 1) - (m + 1) = n - m \)である。

(4) 任意の\( (n,m,l) \in \mathbb{N} \)に対し、\( m + l \in n + 1 \)ならば\( ( (n - m) - l) + (m + l) = ( (n - m) - l) + (l + m) = ( ( (n - m) - l) + l) + m = (n - m) + m = n \)である。