自然数の足し算の定義

極限順序数が後続で閉じることと\( \mathbb{N} \)が極限順序数であることにより写像\( \mathbb{N} \to \mathbb{N}, \ n \mapsto n \cup \{ n \} \)が定まり、それを\( \sigma \)と置く。

任意の\( n \in \mathbb{N} \)に対し、２項間漸化式の解の一意存在性により、\( \mathbb{N} \)の点列\( (a_{n,m})_{m \in \mathbb{N}} \)であって２項間漸化式\( (n,\sigma) \)を満たすものがただ１つ存在する。写像\( \mathbb{N}^2 \to \mathbb{N}, (n,m) \mapsto a_{n,m} \)を\( {+} \)と置くと、定義から任意の\( n \in \mathbb{N} \)に対し\( n + 0 = n \)でありかつ任意の\( n \in \mathbb{N} \)と任意の\( m \in \mathbb{N} \)に対し\( n + \sigma(m) = \sigma(n + m) \)である。

更に写像\( \oplus \colon \mathbb{N}^2 \to \mathbb{N}, (n,m) \mapsto n \oplus m \)が、任意の\( n \in \mathbb{N} \)に対し\( n \oplus 0 = n \)を満たし、かつ任意の\( n \in \mathbb{N} \)と任意の\( m \in \mathbb{N} \)に対し\( n \oplus \sigma(m) = \sigma(n \oplus m) \)を満たすとする。\( {\oplus} = {+} \)であることを示す。仮定より、任意の\( n \in \mathbb{N} \)に対し\( (n \oplus m)_{m \in \mathbb{N}} \colon \mathbb{N} \to \mathbb{N} \)は２項間漸化式\( (n,\sigma) \)を満たし、従って\( (n \oplus m)_{m \in \mathbb{N}} = (a_{n,m})_{m \in \mathbb{N}} = (n + m)_{m \in \mathbb{N}} \)である。以上より、\( {\oplus} = {+} \)である。

極限順序数が後続で閉じることと\( \mathbb{N} \)が極限順序数であることにより写像\( \mathbb{N} \to \mathbb{N}, \ n \mapsto n \cup \{ n \} \)が定まり、それを\( \sigma \)と置く。

(1) 任意の\( n \in \mathbb{N} \)に対し\( n + 1 = n + \sigma(0) = \sigma(n + 0) = \sigma(n) \)である。

(2) \( (n,m) \in \mathbb{N}^2 \)とし、\( m \in n \)とする。任意の\( l \in \mathbb{N} \)に対し\( m + l \in n + l \)となることを数学的帰納法で示す*1。まず\( m + 0 = m \in n = n + 0 \)である。次に\( l \in \mathbb{N} \)が\( m + l \in n + l \)を満たすとすると、後続が\( \in \)を保つことより\( m + \sigma(l) = \sigma(m + l) \in \sigma(n + l) = n + \sigma(l) \)である。従って任意の\( l \in \mathbb{N} \)に対し\( m + l \in n + l \)となる。

(3) \( (n,m) \in \mathbb{N}^2 \)とする。任意の\( l \in \mathbb{N} \)に対し、\( m + l = n + l \)ならば\( m = n \)であることを数学的帰納法で示す*2。まず\( m + 0 = n + 0 \)ならば\( m = m + 0 = n + 0 = n \)である。次に、\( l \in \mathbb{N} \)が\( m + l = n + l \)ならば\( m = n \)を満たすとする。\( m + \sigma(l) = n + \sigma(l) \)と仮定する。\( \sigma(m + l) = m + \sigma(l) = n + \sigma(l) = \sigma(n + l) \)であるので、後続が\( \in \)を保つことより\( m + l = n + l \)である。従って仮定より、\( m = n \)である。以上より、\( m + \sigma(l) = n + \sigma(l) \)ならば\( m = n \)が成り立つ。すなわち、任意の\( l \in \mathbb{N} \)に対し、\( m \in n \)ならば\( m + l \in n + l \)である。

(4) \( m \in \mathbb{N} \)とする。任意の\( n \in \mathbb{N} \)に対し、\( m \in \sigma(n) \)ならばただ１つの\( l \in \mathbb{N} \)が存在して\( m + l = n \)となることを示す。そのような\( l \)の一意性は、上の議論により示された写像\( \mathbb{N} \to \mathbb{N}, \ l \mapsto l + m \)の単射性から従う。任意の\( n \in \mathbb{N} \)に対しある\( l \in \mathbb{N} \)が存在して\( m + l = n \)となることを\( n \)についての数学的帰納法で示す*3。まず\( m \in \sigma(0) = \{ 0 \} \)ならば\( m = 0 \)となり、\( m + 0 = m = 0 \)である。次に\( n \in \mathbb{N} \setminus m \)に対し、\( m \in \sigma(n) \)ならばある\( l \in \mathbb{N} \)が存在して\( m + l = n \)を満たすとする。\( \sigma(m) \in \sigma(n) \)と仮定する。この時\( m \in \sigma(m) \in \sigma(n) \)と自然数が順序数であることから\( m \in \sigma(n) \)である。従って仮定よりある\( l \in \mathbb{N} \)が存在して\( m + l = n \)を満たし、\( m + \sigma(l) = \sigma(m + l) = \sigma(n) \)である。すなわち、任意の\( n \in \mathbb{N} \)に対し、\( m \in \sigma(n) \)ならばある\( l \in \mathbb{N} \)が存在して\( l + m = n \)である。

(5) \( (n,m) \in \mathbb{N}^2 \)とする。任意の\( l \in \mathbb{N} \)に対し\( (n + m) + l = n + (m + l) \)であることを示す。写像\( \mathbb{N} \to \mathbb{N}, \ l \mapsto (n + m) + l \)と\( \mathbb{N} \to \mathbb{N}, \ l \mapsto n + (m + l) \)をそれぞれ\( f \)と\( g \)と置く。\( f(0) = (n + m) + 0 = n + m = n + (m + 0) = g(0) \)かつ\( f(\sigma(l) ) = (n + m) + (\sigma(l) ) = \sigma( (n + m) + l) \)と\( g(\sigma(l) ) = n + (m + \sigma(l) ) ) = n + \sigma(m + l) = \sigma( (n + m) + l) \)より、\( f \)と\( g \)は共に２項間漸化式\( (n + m,\sigma) \)を満たす。従って２項間漸化式の解の一意存在性により、\( f = g \)である。すなわち任意の\( l \in \mathbb{N} \)に対し\( (n + m) + l = f(l) = g(l) = n + (m + l) \)である。

(6) 任意の\( (n,m) \in \mathbb{N}^2 \)に対し\( n + m = m + n \)であることを示す。そのためにまず、任意の\( n \in \mathbb{N} \)に対し\( 0 + n = n \)であることを示す。\( 0 + 0 = 0 \)であり、かつ\( 0 + \sigma(n) = \sigma(0 + n) \)であるので、写像\( \mathbb{N} \to \mathbb{N}, \ n \mapsto 0 + n \)と\( \textrm{id}_{\mathbb{N}} \)は共に２項間漸化式\( (n,\sigma) \)を満たす。従って２項間漸化式の解の一意存在性により、任意の\( n \in \mathbb{N} \)に対し\( 0 + n = n \)である。すなわち任意の\( n \in \mathbb{N} \)に対し\( n \oplus 0 = n \)である。また、任意の\( n \in \mathbb{N} \)に対し\( 1 + n = n + 1 \)であることを示す。\( 1 + 0 = 1 = 0 + 1 \)であり、\( 1 + \sigma(n) = \sigma(1 + n) \)かつ\( \sigma(n) + 1 = (n + 1) + 1 = \sigma(n + 1) \)であるので、写像\( \mathbb{N} \to \mathbb{N}, \ n \mapsto 1 + n \)と\( \mathbb{N} \to \mathbb{N}, \ n \mapsto n + 1 \)は共に２項間漸化式\( (1,\sigma) \)を満たす。従って２項間漸化式の解の一意存在性により、任意の\( n \in \mathbb{N} \)に対し\( 1 + n = n + 1 \)である。

\( n \in \mathbb{N} \)とする。上の議論より\( n + 0 = n = 0 + n \)であり、\( n + \sigma(m) =\sigma(n + m) \)かつ\( \sigma(m) + n = (m + 1) + n = m + (1 + n) = m + (n + 1) = m + \sigma(n) = \sigma(m + n) \)より、写像\( \mathbb{N} \to \mathbb{N}, \ m \mapsto n + m \)と\( \mathbb{N} \to \mathbb{N}, \ m \mapsto m + n \)は共に２項間漸化式\( (n,\sigma) \)を満たす。従って２項間漸化式の解の一意存在性により、任意の\( m \in \mathbb{N} \)に対し\( m + n = n + m \)である。